6.6

(added on 2016-04-10.)

(b)

ラグランジュ定数 μ は、次の方程式を満たす。
（式(6.5a)、(6.5c)より、式(6.5b)は、式(6.5c)と同じため使用しない。）

∑σijwj - μ = 0, i = 1, 2, ..., n (1)
∑wi = 1. (2)

(1)より、

σ12w1 - μ = 0
 ...
σ62w6 - μ = 0

上式より、

w1 = μ / σ12
 ...
w6 = μ / σ62

上の w_i を式(2)に代入し、μ について解く。

μ/σ12+...+μ/σ62=1
μ=1/(1/σ12+...+1/σ62)=1/∑(1/σi2)

この μ を w_i に代入すると

w1=1/∑(1/σi2)/σ12
...
w6=1/∑(1/σi2)/σ62

これらのw_iとσ_iから、σ²を求めると、

σ2=∑wijσij
σ2=w12σ12+...+w62σ62
σ2=(1/∑(1/σi2)/σ12)2σ12+...+(1/∑(1/σi2)/σ62)2σ62
σ2=1/[∑(1/σi2)]2(1/σ12+...+1/σ62)
σ2=1/[∑(1/σi2)]2[∑(1/σi2)]
σ2=1/[∑(1/σi2)]

∴ σmin=1/√([∑(1/σi2)])

最小分散点の平均収益率は各資産の平均収益率 r で、最小分散は、上のσ_minである。

最小分散は、次の通り表せる。

σ_min=σ²

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2016-04-10 create.